O que é progressão aritmética ?
Progressão aritmética é um tipo de sucessão em que a diferença entre os termos consecutivos é constante.
Exemplo de progressão aritmética
Ex1: an = (2,5,8,11,14…)
5-2=8-5=11-14=3 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.
Ex2; vn = (30,25,20,15,10…)
25-30=20-25=15-20=10-15=-5 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.
Mais exemplos de progressão aritmética
Ex3; in = (1,2,3,4,15…) a diferença é 1 (d=1)
Ex4; un = (-7,-10,-13,-15 …) a diferença é -3 (d=-3)
Ex5; yn = (-2,8,18,28, …) a diferença é 10 (d=10)
Exercidos de aplicação
1.Sabendo que a sequência x ,4x-9, 3x+18 é uma progressão aritmética determine o valor de x
Como a é uma progressão aritmética a diferença entre os termos consecutivos será constante ou seja;
a2-a1=a3-a2
4x-7-x=3x+18-(4x-7)
4x-9-x=3x+18-4x+7
4x+4x-x-3x=18+7+7
4x=32
x=8
Termo geral de uma progressão aritmética
Em geram uma sucessão é dada na forma an = (a1, a2, a3, a4 …)
Como a sucessão e uma PA então
a2 – a1 = d ou seja a2 = a1 + d
a3 – a2 = d ou seja a3 = a2 +d
a4– a3= d ou seja a4= a3+ d
Então na PA
a2 = a1 + d
a3 = a2 +d = a1 + d+d= a1 + 2d
a4= a3+ d= a1 + 2d+d= a1 + 3d
an= a(n-1)+ d= a1 + (n-1)d
Conforme vimos o termo geral de uma progressão aritmética é;
an= a1 + (n-1)d
Exercício de aplicação
2. Dada a sucessão an = (4,10,16,22…)
a) Qual é o termo geral sucessão
b) Qual é o vigésimo termo da sucessão?
c)Qual é a ordem do termo 52
d) 86 é termo da sucessão?
Resolução
a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente
an= a1 + (n-1)d
Podemos ver na sucessão an = (4,10,16,22…) que ;
a1=4 e d=10-4=16-10=22-16=6
Então o termo geral da sucessão é ;
an= a1 + (n-1)d
an= 4+ (n-1)6
an= 4+ 6n-6
an= 6n-2
b) O vigésimo termo da sucessão é obtido pela forma do termo geral
an= 6n-2
a20= 6•20-2
a20= 120-2
a20= 118
c)A ordem do termo 52 vamos descobrir (calcular) a partir do termos geral
an= 6n-2
52= 6n-2
6n=52+2
6n=54
n=54/6
n=9
R: é o termo de ordem 9
d) Para saber se 86 é termo da sucessão vamos calcular a sua ordem
an= 6n-2
86= 6n-2
6n=86+2
6n=88
n=88/6
n=14,66
Como tivemos um valor de “n” não natura então 86 não é termo da sucessão
3. Numa progressão altimétrica sabe se que a3=13 e que a7=21
a) Qual é o termo geral sucessão dessa progressão
b) Qual é o nono termo da sucessão?
Resolução
a)Dados a3=13; a7=21
A partir da forma do termo geral de uma PA an= a1 + (n-1)d
sabemos que
a3= a1 + (3-1)d e a7= a1 + (7-1)d
13= a1 +2d e 21= a1 + 6d
a1 =13-2d
21=13-2d+ 6d
21=13+ 4d
4d =21-13
4d =8
d=2
a1 =13-2d
a1 =13-2•2=13-4=9
an= a1 + (n-1)d
an= 9 + (n-1)2
an= 9 + 2n-2
an=2n+7
R: o termo geral da sucessão é an=2n+7
b) O nono termo da sucessão é;
a9=2•9+7
a9=18+7
a9=25
Propriedade de uma progressão aritmética
an = (2,4,6,8,…,14,16,18,20)
2+ 20=4+ 18= 6+ 16= 8+ 15….
Numa progressão aritmética a soma dos termos equidistantes é igual.
a1+ an=a2+ a(n-1)= a2+ a(n-1)= a3+ a(n-2)= a4+ a(n-4)=…
Soma dos termos de uma progressão aritmética
an = (a1, a2, a3, a4 … a(n-4), a(n-3, a(n-2), a(n-1), an)
sn = a1+ a2+ a3+ a4 … a(n-4) + a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) + an
a1+ an =a2+ a(n-1)= a2+ a(n-1)= a3+ a(n-2)= a4+ a(n-4) essa soma se repente n/2vezes então podemos dizer que;
A soma dos termos de uma progressão aritmética é;
Como an= a1 + (n-1)d podemos substituir essa expressão e escrever ;
Exercícios de aplicação
4. Dada a sucessão an = (8,14,20,24…)
a) Qual é o termo geral sucessão
b)Calcule a soma dos 20 primeiros termos da sucessão
Resolução
a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente
an= a1 + (n-1)d
Podemos ver na sucessão an = (8,14,20,24…) que ;
a1=8 e d=6
Então o termo geral da sucessão é ;
an= a1 + (n-1)d
an= 8+ (n-1)6
an= 8+ 6n-6
an= 6n+2
b)A soma dos 20 primeiros termos da sucessão é dada pela forma;
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