Estudo da primeira derivada
Seja uma função f(x) continua
Assim temos representado os gráficos de uma função f (x) e sua derivada f ’(x)
Notamos claramente que;
| ]- ∞, b[ | b | ]b, d[ | d | ]d,+ ∞[ | |
| f (x) | ↗ | Máximo | ↘ | Mínimo | ↗ |
| f ’(x) | + | 0 | – | 0 | – |
Ou seja
* Sempre que a deriva da função f(x) for positiva a função f(x) é crescente.
f ’(x)>0 f (x) é crescente
* Sempre que a deriva da função f(x) for negativa a função f(x) é decrescente.
f ’(x)<0 f (x) é decrescente
Ponto máximo e ponto mínimo são pontos em que a primeira derivada é nula (f ’(x)=0 )
Como saber se um ponto é máximo ou mínimo
* Um ponto é máximo se a derivada muda de positivo para negativo.
* Um ponto é mínimo se a derivada muda de negativo para positivo.
Exemplo de aplicação
a)Determine os extremos máximos e mínimos para a função;
Resolução
Para encontrar os pontos máximos e mínimos devemos achar a primeira derivada e depois igual a zero
Vamos igualar a derivada a zero
x=-3 e x=3
Para saber qual deles é máximo e qual é mínimo vamos esboçar o gráfico da primeira deriva
Como no ponto x=-3 a derivada muda de positivo para negativo diremos que
X=-3 extremo máximo
Como no ponto x=3 a derivada muda de negativo para positivo diremos que
X=3 extremo mínimo
Não deixe de ver;
Como fazer calculo aproximado usando derivadas ?
Estudo da segunda derivada
| f (x) | U | Ponto de infecção | ∩ |
| f ’’(x) | – | 0 | – |
Ou seja
* Sempre que a segunda deriva da função f(x) for positiva a função f(x) tem concavidade voltada para cima.
f ’’(x)>0 f (x) tem concavidade voltada para cima.
* Sempre que a segunda deriva da função f(x) for negativa a função f(x) tem concavidade voltada para baixo.
f ’’(x)<0 f (x) é tem concavidade voltada para baixo.
Ponto de infecção é o ponto em que a função muda de sentido de concavidade e a segunda derivada nesse ponto é nula (f ’’(x)=0 )
Exemplo de aplicação
b)Determine o ponto de infecção para a função
Resolução
Para calcular o ponto de infecção precisamos de achar a segunda derivada e depois igual a zero
Como ponto de infecção é um ponto em que a segunda derivada é igual a zero, iremos igual a segunda derivada a zero
Teste da segunda derivada
Também é possível saber se um ponto é máximo ou mínimo a partir do teste da segunda derivada vamos representar uma função f(x)
Notamos que o extremo máximo é b e nesse ponto a função f(x) tem concavidade voltada para baixo isso significa que a segunda deriva é negativa. e d é um extremo mínimo e nesse ponto a função tem concavidade voltada para cima isso significa que a segunda deriva é positiva
De um modo geral podemos dizer que;
Extremo máximo se; f ’’(x )=0 e f ’’(x)<0
Extremo mínimo se; f ’’(x )=0 e f ’’(x)>0
Exemplo de aplicação
C) Calcule os extremos máximos e mínimos e encontre os respectivos pontos máximos e mínimo para a função;
Resolução
Para encontrar os pontos máximos e mínimos devemos achar a primeira derivada e depois igual a zero
Vamos igual a primeira derivada a zero
y’= 0
Para ver qual e máximo e qual e mínimo vamos usar o teste da segunda deriva
Como no ponto x=-2 a primeira derivada é igual a zero e a segunda derivada é negativa diremos que x=-2 é um extremo máximo
Como no ponto x=2 a primeira derivada é igual a zero e a segunda derivada é positiva diremos que x=-2 é um extremo mínimo.
Agora vamos calcular os pontos máximos e mínimos da função