Equações quadráticas

Equações quadráticas

Equações quadráticas são equações do tipo ax²+bx+c=0 onde a é sempre diferente de zero (a≠0). Exemplo de equações quadráticas;

Ex1;2x²+6x+4=0

Ex2;3x²-8x+6=0

Ex3; -x²-4x+6=0

Ex4: ½x²-+6=0

Ex5: x²-8=0

Ex6; x²-8=0
Como identificar os valor dos parâmetros a,b,c
O parâmetro a é o valor que esta antes do x²
O parâmetro b é o valor que esta antes do x
O parâmetro c é o valor que esta isolado.
Exemplo Para as equações as seguir indique o valor de a,b e c
a) 9x²+5x+7=0
a=9; b=5; c=7

b)x²-4x+2=0
a=1; b=-4; c=2

c)x²+x=0
a=1; b=1; c=0

d)2x²+7x=0
a=2; b=7; c=0

e)3x²+4=0
a=3; b=0; c=4

e)x²=0
a=1; b=0; c=0

 Tipos de equações quadráticas

Existem basicamente dois tipos de equações quadráticas nomeadamente:

Equações quadráticas completas

São aqueles que tem todos parâmetro diferentes de zero a≠0 , b≠0 e c≠0

Exemplo;

a)15x²-4x+2=0

b)x²-x+2=0

Equações quadráticas incompletas

São aquelas em que pelo menos um dos é igual a zero (b ou c)

Exemplo;

a)3x²+4=0

b)-x²+5x=0 c)3x²=0

Resolução de equações quadráticas

Primeiro caso se c=0
ax²+bx=0 Colocamos x em evidência e usamos anulamento do produto:  

ax²+bx=0

x(ax+b)=0

x=0 ou ax+b=0

               ax=-b

               x=-b/a
Exemplo.

a)2x²-4x=0

x(2x-4)=0

x=0 ou 2x-4=0

              2x=4

               x=4/2

                x=2

Solução (0 : 2)
b)-3x²+x=0

x(-3x+1)=0

x=0 ou -3x+1=0

              -3x=-1

              3x=1

              x=1/3

  Solução (0 : 1/3)
c)x²-√5x=0

x(x-√5)=0

x=0 ou x-√5=0

              x=√5     

Solução (0, √5)
d)x²-x=0

x(x-1)=0

x=0 ou x-1=0

              x=1

                 Solução (0,1)

“Note; que se o valor de c for igual a zero (c=0) uma das raízes é sempre zero”

Segundo caso se b=0

ax²+c=0

Vamos passar o c para o segundo membro e dividimos por a e de seguida colocarmos na raiz ax²+c=0

ax²=c

x²=c/a

x=±√(c/a)

Exemplo

a) x²-4=0

x²=4

x²=4

x=±√4

x=±2

x=-2 ou x=2
Solução (-2;2)

b) 2x²-50=0

2x²=50

x²=50/2

x²=25

x=±√25

x=±5

x=-5 ou x=5
Solução (-5;5)

c)√3x²-√27=0

√3x²=√27

x²=√27/√3

x²=√(27/3)

x²=√9

x²=3

x=±√3

x=-√3 ou x=√3
Solução (-√3;√3)
“Note; que se o valor de b for igual a zero (b=0) as raízes são  sempre simétricas.”

Depois veja aula sobre equações logarítmicas

Terceiro caso (caso geral) Para calculares as raízes de uma equação quadrada de um modo geral podemos recorrer ao delta.

ax²+bx+c=0

∆=b²-4ac

  Exemplo1

a) x²-7x+12=0

Primeiro vamos identificar os valores dos parâmetros a,b e c.

a=1; b=-7; c=12  De segunda vamos calcular o delta.

∆=b²-4ac

∆=(-7)²-4×1×12

∆=49²-48

∆=1

x1=(7+1)/2

x1=8/2

x1=4
x2=(7-1)/2

x2=6/2

x2=3
Solução (3;4)

Exemplo2 b) -2x²+6x-4=0

Primeiro vamos identificar os valores dos parâmetros a,b e c.

a=-2; b=6; c=-4  

De segunda vamos calcular o delta.
∆=b²-4ac

∆=(6)²-4×(-2)×(-4)

∆=36+8×(-4)

∆=36-32

∆=4

  x1=(-6+2)/(-4)

x1=-4/(-4)

x1=1
x2=(-6-2)/(-4)

x2=-8/-4

x2=2
Solução (1;2)

---